function [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(a,b,f,ph,sens)

% Changement de variable pour les intégrales
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%  [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(a,b,f,ph,sens) :
%  (voir notations du cours, section 5.4. Changement de variable)
%   remplace l'intégrale int_a ^b f(u) du par int_{alphaa} ^{betaa} F(x) dx
%   avec, si  sens=1, le lien entre l'ancienne variable u et la nouvelle
%           variable x est donné par u=ph(x)
%           Voir le premier sens du changement de variable donne en section
%           5.4.1 et en particulier la remarque 5.3
%   avec, si  sens=-1, le lien entre l'ancienne variable u et la nouvelle
%           variable x est donné par x=ph(u)
%           Voir le second sens du changement de variable donne en section
%           5.4.2 et en particulier la remarque 5.5
%  * Variable d'entrées
%     * a,b : bornes de l'intégrale
%     * F : intégrande
%     * ph :  changement de variable
%  * Variables d'entrées optionnelles
%     * sens : entier dans {1,-1}, valant 1 par défaut. Voir ci-dessus.
%  * Variable de sortie
%     * alphaa,betaa : nouvelles  bornes de l'intégrale (éventuellement remises dans
%     le bon sens)
%     * F :   nouvelles intégrande
%  * Variables de sortie optionnelle
%     *I1= int_a ^b f(u) du
%     *I2= int_alphaa ^betaa F(x) dx
%     En principes, les deux sont égales !
% 
% Exemples : 
% % a) exemples issus du cours.
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(0),sym(1),@(u) sqrt(1-u^2),@(x) cos(x))
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(0),sym(pi)/2,@(u) (cos(u))^2*sin(u),@(x) cos(x),-1)
% % b) exemples issus du TD
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(1),sym(4),@(u) u/sqrt(2*u+1),@(x) (x^2-1)/2)
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(1),sym(4)/3,@(u) 1/(u*sqrt(u^2-1)),@(x) 1/x)
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(0),sym(pi)/2,@(u) cos(u)/(6-5*sin(u)+(sin(u))^2),@(x) sin(x),-1)
% % c) exemple issu de l'examen du 11 octobre 2016 (exercice 3), on a 
% [alphaa,betaa,F,I1,I2]=changement_variable_integrale(sym(0),sym(1),@(u) 1/(3+exp(-u)),@(x) exp(x),-1)
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% ************ Fonctions auxiliaires utilisées ************
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%    aucune
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% 2018 by          Jérôme BASTIEN
%                  Université Claude Bernard Lyon I, Polytech, Laboratoire LIBM, Villeurbanne
%                  E-Mail : jerome.bastien@univ-lyon1.fr

if nargin<=4||isempty(sens)
    sens=1;
end
syms x u;
if sens==1
    F=simple(feval(f,feval(ph,x))*diff(feval(ph,x),x));
    alphaa=solve(char(feval(ph,x)-a),'x');
    betaa=solve(char(feval(ph,x)-b),'x');
    if isempty(alphaa)
        error('aucune solution pour la première borne');
    end
    if isempty(betaa)
        error('aucune solution pour la seconde borne');
    end
    if length(alphaa)>=2
        disp('Attention, plusieurs solutions pour la première borne');
    end
    if length(betaa)>=2
        disp('Attention, plusieurs solutions pour la seconde borne');
    end
    alphaa=alphaa(1);
    betaa=betaa(1);
else
    alphaa=feval(ph,a);
    betaa=feval(ph,b);
    U=solve(char(feval(ph,u)-x),'u');
    if isempty(U)
        error('aucune solution pour la variable');
    end
    if length(U)>=2
        disp('Attention, plusieurs solutions pour la variable');
    end
    U=U(1);
    G=diff(feval(ph,x),x);
    F=simplify(feval(f,U)/(subs(G,x,U)));
end
try
    if abs(alphaa-betaa)-(alphaa-betaa)==0
        auxi=alphaa;
        alphaa=betaa;
        betaa=auxi;
        F=-F;
    end
catch
end
if nargout>=3
    try
        I1=simple(int(feval(f,u),u,a,b));
    catch
        I1=[];
    end
end
if nargout>=3
    try
        I2=simple(int(F,x,alphaa,betaa));
    catch
        I2=[];
    end
    if ~isempty(I1)&&~isempty(I2)&&simple(I1-I2)~=0
        disp('Attention, deux intégrales différentes');
    end
end