function [I,C,n,p,A]=approximation_pi_archimede(cho,fig)

% En entrée : cho=0 par défaut méthode habituelle
%             cho=1 par méthode modifiée (récurrence entre les périmètres).
%             fig=1 pour faire figure de l'interpolation par le log, égal 0
%             par défaut.
%
% en sortie :
%   * I et C : les approximation par défaut et par excès et, pour chacune
%   d'elle :
%       * meilleur indice n (minimise |^p_n-pi])
%       * p : les valeurs de p_i pour i dans {1,...,n}
%       * A : réel tel que |pi-p_n|=KA^n, obtenu par interpolation.

if nargin==0||isempty(cho)
    cho=0;
end
if nargin<=1||isempty(fig)
    fig=0;
end
nmax=25;
if cho==0
    U=zeros(1,nmax);
    V=U;
    U(1)=1/2;
    V(1)=sqrt(3)/3;
    for i=2:nmax
        U(i)=(sqrt(2)/2)*sqrt(1-sqrt(1-((U(i-1))^2)));
        V(i)=(1/V(i-1))*(-1+sqrt(1+(V(i-1))^2));
    end
    X=1:nmax;
    I=6*2.^(X-1).*U;
    C=6*2.^(X-1).*V;
else
    I=zeros(1,nmax);
    C=I;
    I(1)=3;
    C(1)=2*sqrt(3);
    q=6;
    for i=2:nmax
        I(i)=sqrt(2*q)*sqrt(q-sqrt(q^2-(I(i-1))^2));
        C(i)=((2*q)/(C(i-1)))*(-q+sqrt((C(i-1))^2+q^2));
        q=2*q;
    end
end
n=zeros(1,2);
A=n;
p=cell(1,2);
a=n;
b=n;
if fig
    Nmin=inf;
    Z=p;
end
for k=1:2
    if k==1
        auxi=I;
    else
        auxi=C;
    end
    [m,N]=min(abs(auxi-pi));
    if fig
        Nmin=min([Nmin,N]);
    end
    Q=auxi(1:N);
    X=0:(N-1);
    Y=log10(abs(Q-pi));
    R=polyfit(X,Y,1);
    a(k)=R(1);
    if fig
        b(k)=R(2);
        Z{k}=Y;
    end
    A(k)=10^a(k);
    n(k)=N;
    p{k}=Q;
end
if fig
    X=0:(Nmin-1);
    Z{1}=Z{1}(1:Nmin);
    Z{2}=Z{2}(1:Nmin);
    subplot(2,1,1);
    plot(X,Z{1},X,a(1)*X+b(1),'*');
    legend('Exacte','Interpolée');
    title('log10 de l''erreur sur I');
    subplot(2,1,2);
    plot(X,Z{2},X,a(2)*X+b(2),'*');
    legend('Exacte','Interpolée');
    title('log10 de l''erreur sur C');
end